GAMES101-闫令琪 https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744/
02 Review of Linear Algebra 线性代数
向量
单位向量：
- 大小为1的向量
- 向量的单位向量（归1化）：向量/长度
- 用于表示方向
向量加法：
- 几何上：平行四边形定律和三角形定律
- 代数：只需添加坐标
点乘：
- a向量长度*b向量长度*夹角余弦COS
- 两个都是单位向量，结果就是夹角余弦，反余弦就可以知道夹角大小
- 点乘也满足交换律、结合律、分配律
- 在直角坐标系中就是对于元素相乘后相加
- 点乘在图形学中可以用来寻找物体直接的夹角；也可以计算一个向量在另一个向量上的投影；两个方向有多接近；方向
叉乘：
- 叉积与两个初始向量正交
- 方向由右手定则确定
- 可以确定第三条轴
- 叉乘没有交换律，需要加负号
- 有助于构建坐标系（稍后）；叉乘反转法线的功能
判定左右、内外：
- a叉乘b，根据右手定则得负，所以a在b的右侧
- Ap在AB的左侧、Bp在BC的左侧、Cp在CA的左侧，所以p点在三角形ABC内（都在三角形左边/右边）
投影 正交基准/坐标系：
- 对于表示点、位置、地点很重要
- 通常，许多坐标系全局、局部、世界、模型、模型的一部分（头部、手，…）
- 关键问题是这些系统之间的转换/基地
矩阵
矩阵乘法：
- 第一个矩阵列数等于第二个矩阵的行数才能乘
- （i，j）为A的第i行和B的第j列的点积，例：61为2行3列，(5*9)+(2*8)
- 没有交换律，但是有结合律和分配率
转置：
- 行和列互换
- 如果乘两个矩阵后转置，等于后一个矩阵转置乘以前一个矩阵转置
单位矩阵：
- 只有对角线有非零元素
- 单位矩阵乘以a还得a
- 两个矩阵相乘得单位矩阵，就说这两个矩阵是互逆的
向量的点乘和叉乘都可以写成矩阵的形式：
03 Transformation 变换
线性变换
都可以写成这样一种形式：线性变换=矩阵
缩放：等比缩放分别*s，可以写成矩阵；不成比例缩放，就有了两个s
翻转：沿x轴翻转，x取反，y不变
切变：∵y=1时 偏移 a，当y=0.5时 偏移 0.5a ∴任何的x水平方向移动都是a*y，y不变
旋转：将变换后的坐标写成矩阵使用ABCD代替，根据三角函数求得其中一个变换后的坐标为cosθ和sinθ，将其代入矩阵求得A=sinθ、B=cosθ，再求得另一个点的坐标，可得旋转后的变换矩阵
齐次坐标
平移：因为平移不符合线性变换的一个矩阵乘另一个矩阵，但是又不想把平移当成一个新的变换，所以将二位的点/向量增加一个维度，二维点写成(x,y,1)、二维向量写成(x,y,0)；（向量表示的是方向性，向量具有平移不变性）。（先应用线性变换然后平移）
齐次坐标通过增加一个数的方式，就可以把平移写成矩阵乘以向量的形式
x,y是有意义的，w是我们加上的东西，如果我们任务任何的x,y,w作为一个二维的点，可以表示为x/w , y/w , w/w（w ≠ 0否则就成向量了），w=1，
- 向量 + 向量 = 向量
- 点 - 点 = 向量
- 点 + 向量 = 点
- 点 + 点 = 两个点的中点
所以的仿射变换都可以写成齐次坐标的形式（二维变换下的仿射坐标写成的齐次坐标，最后一行都是0,0,1、平移写着最后一列的前两个，左边2*2是原来的abcd）
逆变换：对应乘以变换的逆矩阵
变换组合
- 复杂变换可以通过一系列简单变换得到
- 变换的顺序很重要（矩阵乘的顺序）
从右到左逐个应用矩阵
组合：预先乘以n个矩阵，得到一个表示组合变换的单个矩阵；一个3*3的矩阵，经过很多次变换后还是一个3*3的矩阵；
- 通过矩阵相乘进行组合
- 对性能非常重要！
分解：以任意一个点进行旋转，先把点移动至原点，而后进行旋转，再把原点移回去
旋转矩阵的逆等于旋转矩阵的转置：想求一个向反方向旋转的角度，先写出来个正向的旋转，然后把矩阵给转置
如果一个矩阵的逆等于这个矩阵，就把它叫做正交矩阵
04 Transformation Cont.
三维变换
同样三维引入齐次坐标，点加一个1、向量加一个0；先应用线性变换然后平移
三维的缩放和平移
在三维空间，绕着某一个轴旋转，哪一个轴不变
绕x轴旋转：y到z；绕z轴旋转：x到y；绕y轴旋转就会变成：z到x，所以绕y轴旋转是相反的
复杂的旋转都可以把它分解成绕XYZ轴的旋转，
视图变换
MVP：model transformation 模型变换；view transformation 视图变换； projection transformation 投影变换
相机：放在哪；往哪看；向上方向
相对位置不变，画面就不会变，所以总是把相机放在原点、看向-Z、Y朝上、并将对象和相机一起动
先做一个平移把e移动到0；再把g旋转到-Z上；把t旋转到Y
将这个过程写成矩阵，因为原始旋转不好求，所以先求逆变换，然后转置
投影
正交投影（将相机放得无限远） & 透视投影
正交投影
简单的正交：相机位于原点，删除z轴，将生成的矩形平移并缩放为[-1，1]²
通常做法是：
- 定义一个空间中的立方体，X轴上定义左右[l,r]、Y轴上定义上下[b,t]，Z轴上定义远近[f,n]（我们沿着-Z方向去看，所以小的放前面near>far）
- 将其移动到原点
- 然后缩放到标准立方体[-1，1]³
然后将其写成矩阵：
- 长宽相加除以2；
- 然后再缩放将其变成2（-1到1的范围是2）
透视投影
透视投影让平行线看起来不再平行
先把截锥体压成长方体，再做一次长方体：
- 近平面不变
- 远屏幕z值不变，只在平面内向内收缩
- 中心的不发生变化
xy：
- 从侧面看，根据相似三角形，两个点y的比值就是n与z的比值，同样从上面看可以得出x的比值
- 这样任何一个点我们都可以写成这样，但是Z不知道，可以都乘Z：Z还是不知道，XYZ就可以映射到这样一个向量（ (x,y,z,1)，(kx,ky,kz,k!=0)，(xz,yz,z²,z!=0)都是在表示三维中的同一个点，所以可以同时乘k也可以同时乘z ）
- 根据矩阵乘向量可推出矩阵中的很多元素
近平面z：
任何一个点在近的平面上是不变的、远处的平面经过变换后也不会发生变换
- 把z换成n，对于已经近的平面上的点永远会映射回它自己，可以把它们都乘以n，
- 可得矩阵第三行乘以这个矩阵等于n²，
- 因为n²跟xy都没有关系，所以前两个数必然是0
远平面z：
原平面中心点不变，我们希望最后一个数是f，所以都乘以f
我们将近远平面都展开，得到两个式子，就可以解出AB
我们将挤成长方形做完，然后做正交投影就可以得出透视投影
透视投影视锥需要两个概念：定义垂直可视角度以及长宽比
垂直可视角度除以2，可得一个直角三角形，只要知道距离相机的距离n，就可以求得高度
05 Rasterization 1 (Triangles) 光栅化-三角形的离散化
像素屏幕
对于屏幕来说：
- 是一个二维的像素阵列
- 阵列大小：分辨率
- 一种典型的光栅显示器（光栅：德语屏幕；光栅化：在屏幕上绘图
像素：
- 目前：像素是一个颜色均匀的小方块
- 颜色是（红、绿、蓝）的混合体
- 像素使用整数坐标来描述(x,y)
先忽略z，将xy拉到[0,width]*[0,height]的高度；先缩放，再平移，写成一个视口变换矩阵
为什么是三角形？
- 最基础的多边形
- 可以分解其他多边形
- 一定是平面的
- 内部轮廓分明
- 定义良好的插值方法 三角形上的顶点（重心插值）
采样
我们可以通过采样对函数进行离散化；使用像素中心进行采样
如果每个像素中心都在三角形内，则进行采样；
- 定义一个函数，输入点的坐标判断是否在三角形内部，取像素中心xy各+0.5
- 结果放在一个二维数组里，1为显示
- 使用两个for循环将所有点的坐标传入
- 因为很多像素是不需要计算的，所以可以使用边界框，使用三角形x的最小最大值和y最小最大值，这个方形区域内的像素做判断
- 也可以找到三角形对于每一行的最左和最右做判断
06 Rasterization 2 (Antialiasing and Z-Buffering) 光栅化-深度测试与抗锯齿
傅里叶变换
采样产生的瑕疵 Artifacts:
- 锯齿
- 摩尔纹
- 车轮效应
信号的变化速度太快，导致采样的速度跟不上变化的速度
在采样之前做一个模糊 Pre-Filtering，然后再采样
- Antialiasing：先模糊再采样
- Blurred Aliasing：先采样再模糊
- 可以通过余弦定义频率f、周期；
- 傅里叶级数展开：任何一个周期函数，都可以把它写成一系类正弦和余弦函数的线性组合和一个常数项
- 傅里叶变换：给定任何一个函数，都可以让它经过一个相当复杂的操作，变成另外一个函数；还可以通过逆变换变回原来的函数
通过对多条不同频率的函数，使用相同的方法进行间隔采样 ∴ 对于函数来说，采样的评率应该匹配函数的频率
走样：用同样的采样方法采样两种完全不同的频率，但结果相同
滤波Filtering：去掉某些频率
中心是低频信息，周围是高频信息
频谱：傅里叶变换能让我们看到任何在各个不同的频率长什么样，频谱（十字线是周期边界条件）
- 高通滤波器：只让高频信息通过，留下的主要是边缘
- 低通滤波器：只让低频信息通过，边缘都被模糊掉了
- 去掉部分高频和低频信息
卷积
滤波 = 平均 = 卷积
卷积：将可以滑动的滤波的格子，跟信号对应的格子做点乘，结果写到格子上；取原始格子的三个数做加权平均
对两个信号进行卷积，对应到两个信号各自的频域上，是对两个信号频率的乘积
时域上的乘积意味着频域上的卷积，在频域中，反之亦然
选项1：
- 在时域中通过卷积进行滤波（1/9是做归1化保证亮度不变）
选项2：
- 频域变换（傅里叶变换）
- 乘以卷积核的傅里叶变换
- 转换回时域（傅里叶逆变换）
盒子=低通滤波器；盒子在时域上变大，在频域上缩小了；更大的滤波器=更低的频率，更模糊
采样
采样=重复 频率内容
采样就是重复原始信号的频谱
走样：采样的间隔会导致频谱以不同的间隔移动，频谱在搬移的情况下发生了混叠
反走样
- 选项1：提高采样率 基本上增加了傅里叶域中副本之间的距离，更高分辨率的显示器、传感器、帧缓冲区…但是：成本高昂，可能需要非常高的分辨率
- 选项2：抗锯齿 采样前消除高频，进行模糊
先做1像素的box-blur方框模糊卷积f（x，y），然后在每个像素的中心进行采样
在光栅化一个三角形时，对被三角形覆盖的像素，求像素内的平均值，f(x,y) = inside(triangle,x,y)，。
通过多重采样消除混叠（MSAA）：
将一个像素划分出很多小的点（并没有提高分辨率，相当于采样时提高了计算精度），对每一个小像素进行判断，然后平均起来
其他抗锯齿方法：
- FXAA (Fast Approximate AA)：先得出有锯齿的图，找到边界替换成没有锯齿的边界，后期处理和采样无关，非常快
- TAA (Temporal AA) ：复用上一帧的信息
超分辨率/超采样：
- 从低分辨率到高分辨率
- 基本上仍然存在“样本不足”的问题
- DLSS（深度学习超级采样）
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